Родилась в Баку, выросла в Ереване.
С 17-и лет живет в Москве.
В 2002-м окончила ВГИК, факультет режиссуры игрового кино (мастерская С.А. Соловьева и В.Д. Рубинчика).
Студенческие короткометражные фильмы “Andante”, “Полетели”, “До востребования” и “Контрабас” стали призерами более чем 40 международных кинофестивалей, приобретены музеями кино Рима и Мельбурна.
В 2001-м году прошла практику в различных кинокомпаниях в Германии (Франкфурт, Висбаден) по приглашению немецкого института им. Гете.
Премьера дебютного фильма «Марс» (2004) состоялась на Берлинском кинофестивале.
Второй полнометражный фильм «Русалка» (2007) получил приз за лучшую режиссуру на главном американском фестивале независимого кино Sundance, премию ФИПРЕССИ на Берлинском МКФ, Гран-при международных фестивалей в Софии, Ереване, Далласе, приз «Независимая камера» МКФ в Карловых Варах и многих других. Номинировался на премию Оскар от России.
Фильм «Звезда» (2014) получил приз за лучшую режиссуру на Кинотавре 2014.
Фильм «Про любовь» (2015) – получил Главный приз и Приз жюри кинопрокатчиков на Кинотавре 2015, премию «Золотой орел» за лучший фильм, а также приз Мэра Москвы «За создание образа Москвы в киноискусстве» на Московском Международном Кинофестивале.
В 2019-м году в Ирландии, в городе Килкенни состоялась первая ретроспектива фильмов Меликян под названием «Mad about Melikyan».
В 2020 вышло сразу три работы Анны - полнометражные фильмы «Фея», «Трое» и сериал «Нежность», снятый впервые в России на мобильный телефон, который стал одним из самых популярных сериалов в стране.
В 2023 году вышел фильм "Чувства Анны".
Также широкую известность принесли короткометражные работы, которые Анна каждый год снимает для благотворительного аукциона Action. Все средства от продажи этих фильмов поступают в благотворительные фонды.
“Про любовь” (2011)
“Про любовь 2” (2012)
”Такое настроение, адажио Баха и небольшой фрагмент из жизни девушки Лены (2014)
“8” (2015)
“Я иду к тебе” (2017)
«Нежность» (2019)
«Любовь» (2022)
«Диана» (2023)
Так же снимает рекламные ролики и клипы.